安全边:
在无向图G=(V,E)中,A是图G的某棵最小生成树T的子集,当把图G中的某条(u, v)边加入到A中后,如果AU(u, v)仍然是某棵最小生成树T’的的子集,边(u, v)被成为A的一条安全边
割:
在无向图G=(V,E)中,割(S, V-S)是对顶点集V的一种划分,当一条边(u, v)的一个端点属于S,另一个端点属于V-S时,称边(u, v)通过割(S, V-S)。如果集合A中没有一条边通过割(S, V-S),则称割(S, V-S)不妨碍边集A。如果某条边的是通过割(S, V-S)的边中权值最小的边,则称该边是割(S,V-S)的一条轻边,注意,可能存在多条轻边,对于一个割来说
定理:
在带权无向图G=(V,E)中,A是边集E的一个子集,并且A包含于某棵最小生成树T中。设割(S, V-S)是图G中任意一个不妨碍A的割,且边(u, v)是割(S, V-S)的一条轻边,那么边(u, v)是A的一安全边。
证明:
假设包含A的最小生成树T不包含(u, v),那么如果能找到另一颗图G的最小生成树T’包含A,且包含AU(u, v)。就能证明定理。
对于T,考虑如果加入边(u, v),那么原来的T就会形成一个回路。对于割(S, V-S),必然能够在T中找到一条边(x, y)经过割(S,V-S)。那么对于T,考虑去掉(x, y),添加(u, v),就能形成另外一棵树T’。T’是最小生产树吗?答案是肯定的,因为(u, v)是割(S,V-S)的一条轻边。W(T’)=W(T)-W(x, y)+W(u, v),显然W(T’)<=W(T)。因此T’也是G的一颗最小生成树。T’包含A(因为割(S,V-S)不影响A),且包含AU(u, v),从而定理得证
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